Многие абитуриенты МГУ, не готовившиеся к олимпиадам в выпускном классе, ошибочно воспринимают ДВИ как усложнённую версию ЕГЭ, но это часто приводит к низким результатам.
В этой статье мы рассмотрим содержание типового варианта ДВИ, объясним систему оценивания решений и предложим примерную шкалу перевода баллов. Но самое главное — мы поделимся с вами эвристиками для «творческих» задач экзамена, которые помогут вам эффективно распределить время на сложные задания. Потратьте 45 минут своей жизни на чтение этой статьи, и вы сможете улучшить свой результат как минимум на 10 баллов.
Оглавление
- Содержание экзамена
- Система оценивая
- Эвристики в задачах
- Эвристики алгебраических задач ДВИ МГУ
- Эвристики стереометрических задач ДВИ МГУ
- Итог
Содержание экзамена
С 2020 года участникам предлагается решить за три часа семь задач: № 1 — «утешительная», № 2–4 по уровню соответствуют алгебре из второй части ЕГЭ, а задачи № 5–7 близки к отборочному этапу технической олимпиады ПВГ (две сложные геометрии и «творческая» алгебра).
В этой статье мы подробно рассмотрим две последние задачи, поскольку по первым четырём в интернете легко можно найти тонну информации и они под силу любому, кто сдал ЕГЭ на 75+ баллов. Планиметрию же мы затрагивать не будем, так как её эвристики слишком сложны для понимания и требуют хорошей теоретической подготовки.
Система оценивания
Как и на ЕГЭ, работа участника ДВИ сначала оценивается в первичных баллах, а итоговым результатом является вторичный балл.
На первом этапе оценка за каждую задачу выставляется по системе «решил или нет»: полное или идейно законченное решение — «+», «±»; нерешённая задача — «∓» или «–» в зависимости от наличия существенных или несущественных продвижений в решении, где «+» приравнивается к 1 баллу, «±» — к 0,5, «∓» и «–» — к нулю. Первичный результат работы вычисляется по сумме всех баллов. После этого все первичные результаты участников ранжируются, и задаётся шкала перевода первичных баллов во вторичные (от 0 до 100).
Точной шкалы перевода первичных баллов нет. Однако известно, что 100 баллов можно набрать без одной решённой задачи, а 85+ баллов — это пять полностью решённых задач и попытка решения шестой с хоть какими-то существенными продвижениями. Этой информации вам будет достаточно для построения стратегии.
Эвристики в задачах
Что мы делаем в первую очередь, когда решаем математическую задачу? Верно, разбираемся с условием. Однако недостаточно просто «записать» условие на листке — нужно понять структуру предложенной задачи.
Например, если вы читаете текстовую задачу из первой части ЕГЭ, то сразу понимаете, что параметры из условия и их взаимосвязь можно и нужно выразить через уравнения. Ведь нет никаких других более очевидных путей начать решение, после чего исходная задача подменяется на более простую и знакомую (обычную систему уравнений). Аналогичный подход используется и при решении нестандартных задач: чтобы найти решение, сначала нужно правильно выбрать путь на основе эвристики, то есть подсказок в самом условии.
Зачем это понимать? Чтобы не тратить время на экзамене, пытаясь вспомнить волшебную формулу или обнаружить из ничего опорный факт к решению (почти как ткнуть пальцем в небо и указать ровно на нужную звезду). Нестандартную задачу следует «приводить» к стандартной за счет заложенных в самом условии подсказок (эвристик).
Давайте рассмотрим пример:
Если решать эту задачу «стандартным» методом, то в школьной математике мы имеем лишь инструмент производной для поиска локальных экстремумов функции и нам это явно тут никак не поможет. Но если начать искать путь к решению в самом условии и задавать себе вопросы: «Что будет с корнями при минимальной сумме? Их сумма будет действительным числом, потому что каждый из них будет действительным? Или может каждый по отдельности будет выражением, но сумма этих выражений упрощается до действительного числа?». Тогда можно будет заметить, что нам намного-намного упростило бы жизнь, если бы каждый из корней являлся действительным числом по отдельности. И это уже в свою очередь наведет нас на другие более уточняющие вопросы (можете попробовать самостоятельно их себе задать относительно представленной задачи).
В итоге, в поиске решения вы привяжитесь уже к тому, что нужно найти какое-то конкретное минимальное значение не у всей суммы, а только у одного корня. И вот уже тогда все ваше внимание будет направлено на изучение эвристики корня и его подкоренного выражения. После чего вы сможете обнаружить, что под каждым корнем можно выделить полный квадрат суммы/разности с участием логарифма.
Таким образом, задача превращается в очевидную и знакомую (рекомендуем самостоятельно довести задачу до конца).
Если вам показались сложными и запутанными (или нелогичными) рассуждения, приведённые выше, то следует ещё раз их перечитать и осмыслить. В противном случае вы готовы к тому, чтобы понять эвристики «творческих» задач по алгебре и стереометрии ДВИ МГУ, которые мы выделили.
Конечно, никакие эвристики не помогут решить задачу, если вы плохо знаете школьную математику. Но если ваш результат на ЕГЭ — 75+ баллов, они сэкономят вам массу времени для размышлений над существенной частью решения, а не над тем, как подступиться к задаче.
Эвристики алгебраических задач ДВИ МГУ
Ниже мы сформулировали вопросы, которые следует задавать себе при начале решения. Если у вас получится найти на них ответ, то вы либо сузите пространство поиска решения, либо зацепитесь и сможете начать раскручивать задачу.
- Что в условии является параметрами, то есть может меняться, а что инвариантом, то есть не зависит от параметров?
Например, если в уравнении или неравенстве дано сложное выражение, то параметром может являться как сама переменная, так и функция от переменной; вернитесь к задаче выше и обратите внимание, что параметрами помимо самих переменных являются еще и выражения с логарифмами под корнями, каждый из которых можно заменить на отдельную переменную, хоть логарифм и зависит от неизвестных ‘a’ и ‘x’. - Если в задаче требуется найти область определения функции, то какие ограничения наложены на аргумент? Может ли он принимать произвольные значения или чем-то ограничен?
Стандартные рассуждения, которые обычно в школе используют при записи ОДЗ, на самом деле являются мощным эвристическим инструментом при решении уравнений и неравенств с 2 неизвестными (параметр + переменная). Ведь если аргумент будет ограничен, то существует зависимость параметра от переменной, что часто уже позволит довести задачу до конца. Например, если вам дано уравнение, в котором слева находится сложная функция от ‘x’ и ‘y’, а справа элементарная функция (к примеру, ‘kx’ или ‘x + y’), то получается ситуация, что решением будет пересечение области определения функции с областью значения (часто даже в задачах такое пересечения является одной единственной точкой). - Есть ли в выражениях из условия симметрия? Если да, то она является параметром и/или инвариантом?
Например, вам даны непонятные выражения с дробями, которые по циклу один за другим делят друг друга; тогда это будут и параметры, и инвариант, так как каждая по отдельности может меняться, а произведение дробей будет всегда равняться единице. - Можно ли упростить условие, ограничив его частными случаями?
В олимпиадах по математике их еще называют «крайними», «плохими» или «хорошими» случаями; в ДВИ такой прием используют, чтобы сделать параметры или неравенства решаемыми только тогда, когда будет найдено какое-то общее частное решение. - Можно ли упростить какое-либо выражение в условии, разложив его на произведение или свернув по формуле квадрата суммы и тд?
Главное, что вы должны еще понимать прежде, чем думать в сторону этой эвристики, то что обычно упрощениям нет ни конца, ни края, и прибегать к поиску этой эвристики нужно только, если никакая эвристика выше не дает результатов, либо если упрощение выражения само бросается вам в глаза, что является открытой подсказкой от авторов. - Что будет с уравнением или неравенством, если у частного решения поменять знак, или домножить его на константу? (Что получится с выражением: оно нарушится, останется прежним или изменит вид?)
Данный метод позволяет оценить количество корней, либо разглядеть закономерность целого класса корней. Обычно используется, когда уравнение или неравенство безумно страшное и необходимо свести к задачу от двух неизвестных (переменная + параметр) к одной (например, ‘x’ может быть только нулем, иначе уравнение или неравенство будет иметь четное/нечетное корней, или иметь бесконечную серию корней). Можно считать, что эта эвристика есть уточнение эвристики из 3 пункта.
Чтобы потренироваться задавать такие вопросы, попробуйте порешать задачи прошлых лет. Для лучшего усвоения этой техники мы рекомендуем прорешать задачи с 2014 по 2022 год. (Не стоит решать задачи прошлого года по алгебре, так как в 2023 году впервые использовали олимпиадные неравенства на доказательство, научиться решать которые за короткое время очень сложно.)
Примеры и решения архивных вариантов прошлых лет вы можете найти на странице Мехмата.
Эвристики стереометрических задач ДВИ МГУ
Тут все гораздо проще, так как в стереометрии крайне мало различных сюжетов: объем, площадь сечения, расстояния между точками, расстояния от точки до прямой и тд. Проще, потому что существует универсальный прием решения всех стереометрических задач школьной математики — это метод координат. И давайте для начала мы объясним вам, почему это так.
Проведем небольшой мысленный эксперимент.
Допустим, вам попалась задача с параллелепипедом, в котором вам просят найти расстояние между какими-то двумя прямыми. Если вы пойдете по геометрическому пути решения, то вам потребуется найти такую прямую, чтобы она была перпендикулярна обоим прямым. Затем вы будете искать длину отрезка на этой прямой, для чего вам потребуется еще понять, как связана эта прямая с метрической точки зрения с фигурой и данными из условия. В общем, вам придется провести довольно внушительную аналитическую работу, много строить и много раз заходить в логический тупик, прежде чем вы обнаружите ту самую связь между каким-то отрезком с известной длиной и отрезком, длину которого ищем.
Теперь давайте посмотрим на ту же задачу, но уже с ракурса метода координат.
Для начала зафиксируем, что расстояние между прямыми в пространстве можно найти, если знать уравнения прямых в некоторой прямоугольной системе координат. Тогда потребуется прежде найти уравнения прямых. Для чего еще прежде понадобятся координаты точек, через которые проходят прямые, либо направляющие вектора и по одной точке для каждой прямой. И получается, что вся исходная задача свелась либо сначала к выбору точек, через которые проходят прямые, и затем к поиску их координат, либо к выбору по одной точек и по направляющему вектору для каждой прямой. В любом случае, это требует куда менее сложных рассуждений, чем геометрическое решение.
Получается, что метод координат позволяет упростить абсолютно любую стереометрическую задачу: свести её к поиску координат точек. Вам останется только решить линейную или квадратную систему уравнений с 3, 4 и более переменными. Это будет очень полезно в сложных задачах, где геометрическое решение спрятано глубоко и требует неочевидного дополнительного построения. Но нужно с осторожностью относиться к этой эвристике, так как если вы неплохо справляетесь со стереометрией из второй части ЕГЭ, то вам лучше следует сначала попробовать найти доп.построение. И только если вы чувствуете полное бессилие перед задачей, вы можете переходить к решению с помощью метода координат. Иначе говоря, матожидание результата в 100 баллов упадет, если вы будете решать стереометрию только по методу координат, каждый раз теряя по 15-20 минут в сравнении с геометрическим решением, нежели если вы погрузитесь в рисунок на 5 минут и с какой-то частотой поймете, что в задаче нужно исследовать из фигур и точек, что находить из длин и что достраивать.
Познакомиться и разобраться с теорией метода координат вы можете в нашей методичке, в которой мы собрали главные факты и их доказательства, часто применимые на практике.
Итог
В завершение к данной статье хочется еще раз заострить ваше внимание на трех вещах.
Первое, главная цель на экзамене — уменьшать время решения как каждой отдельной задачи, так и всего варианта.
Второе, используйте данные эвристики только в последних задачах варианта
Третье, в стереометрии, если вы решали ее на ЕГЭ, попробуйте сначала найти доп.построение и вывести геометрическое решение, только затем прибегайте к методу координат.
Готовьтесь к ДВИ с умом и подписывайтесь на лучший паблик про поступление в университет – Budget!